introduction |
L'associativité
de la composition des rotations, et donc l'associativité de la
multiplication des quaternions unitaires, est une
propriété évidente de la composition des
applications ( fo(goh)=(fog)oh ) . Elle n'a pas , dans l'absolu,
à être redémontrée dans un cas particulier .
Mais, dés que l'on éssaie de visualiser cette
proprièté, le château de cartes que l'on obtient
laisse dubitatif. Comment ce fouillis assez impressionnant de plans
s'organise-t-il? |
description de la figure et preuve |
La
figure montre six rotations . Celles-ci sont représentées
par la composée de réflexions (symétries
orthogonales par rapport à des plans vectoriels). Au
départ on se donne 3 rotations U, V , S d' angles respectifs
2*phi , 2*psi , 2*theta. Deux plans quelconques passant par l'axe (U ou
V ou S)qui font un angle moitié (phi psi theta) fournissent des
décompositions en réflexions , notées r1 r2 r3 r4
etc... Les 3 autres rotations sont les composées VoU , SoV et
So(VoU) . |
- la rotation (U, 2*phi) est repréentée par r1o r2 et par r12o r11
- la rotation (V, 2*psi) est représentée par r3 o r1 et par r8 o r7
- la rotation (S , 2*theta) est représentée par r6 o r5 et par r9 o r8
- la rotation VoU est représentée par r3 o r2 et par r5 o r4
- la rotation SoV est représentée par r9 o r7 et par r10 o r12
- Il s'agit de montrer que r6 o r4 est la même rotation que r10 o r11
|
Partons de r6 o r4.
r6 o r4 =
( r6 o r5) o ( r5 o r4) = (r8 o r9) o (r3 o r2) =(r9 o r7) o r7 o r8 o r3 o r2 = (r10 o r12) o( r7 o r8) o r3 o r2=
(r10 o r12) o( r1 o r3) o r3 o r2= (r10 o r12) o( r1 o r2)= (r10 o r12) o( r12 o r11)
= r10 o r11 (C.Q.F.D :-)
(édit le 26/06/2004) |
|
|