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L' associativité des quaternions

Un clic sur l'applet pour lui donner le focus. Tourner le volume en déplaçant sur la figure le curseur, le bouton de la souris enfoncé. La  touche "a", en bascule, initie ou arrête un mouvement calculé : pour battre les "cartes" et modifier les vecteurs. On peut aussi déplacer le vecteur V  par les touches de direction UP, DOWN, RIGHT, LEFT.
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introduction
L'associativité de la composition des rotations, et donc l'associativité de la multiplication des quaternions unitaires, est une propriété évidente de la composition des applications ( fo(goh)=(fog)oh ) . Elle n'a pas , dans l'absolu, à être redémontrée dans un cas particulier . Mais, dés que l'on éssaie de visualiser cette proprièté, le château de cartes que l'on obtient laisse dubitatif. Comment ce fouillis assez impressionnant de plans s'organise-t-il?
description de la figure  et preuve
La figure montre six rotations . Celles-ci sont représentées par la composée de réflexions (symétries orthogonales par rapport à des plans vectoriels). Au départ on se donne 3 rotations U, V , S d' angles respectifs 2*phi , 2*psi , 2*theta. Deux plans quelconques passant par l'axe (U ou V ou S)qui font un angle moitié (phi psi theta) fournissent des décompositions en réflexions , notées r1 r2 r3 r4 etc... Les 3 autres rotations sont les composées VoU , SoV et So(VoU) .
  • la rotation (U, 2*phi) est repréentée par r1o r2 et par r12o r11
  • la rotation (V, 2*psi) est représentée par r3 o r1 et par r8 o r7
  • la rotation (S , 2*theta) est représentée par r6 o r5 et par r9 o r8
  • la rotation VoU est représentée par r3 o r2 et par r5 o r4
  • la rotation SoV est représentée par r9 o r7 et par r10 o r12
  • Il s'agit de montrer que r6 o r4 est la même rotation que r10 o r11

Partons de r6 o r4.
r6 o r4 =
( r6 o r5) o ( r5 o r4) = (r8 o r9) o (r3 o r2) =(r9 o r7) o r7 o r8 o r3 o r2 = (r10 o r12) o( r7 o r8) o r3 o r2=
(r10 o r12) o( r1 o r3) o r3 o r2= (r10 o r12) o( r1 o r2)= (r10 o r12) o( r12 o r11)
= r10 o r11 (C.Q.F.D :-)

(édit le 26/06/2004)

 

 

version du 25/06/2004