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les quaternions naissent dans les chips

Utilisation de l'applet: cliquez sur l'applet pour lui donner le focus. Ensuite les touches "s" "a" et "c" sont actives.
  • "a" bascule pour le mouvement calculé
  • "s" pour afficher les cônes ou la sphère
  • "c" pour les disques orthogonaux aux axes des chips
  • clic et drag pour des rotations volontaires
  • les tirettes pour modifier l'angle et l'expansion des chips rouge et bleu.
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voyager sur terre

Lors d'un projet de voyage la première décision est la destination.Le point départ est pour vous évident . Puis vient le choix du trajet. Il y a peut être plusieurs chemins qui se distinguent par des villes de passages différentes. Ainsi journellement nous faisons la distinction entre la notion de voyage(départ,arrivée) et la notion de trajet qui sera la liste des villes traversées. Supposons que nous ayons deux trajets possibles (depart,ville1,arrivée) et (depart, ville2,arrivée), très vite nous parlerons du trajet "ville1" et du trajet "ville2" en sous-entendant ce qui est devenu évident; le départ et l'arrivée.
voyager sur un cercle

Le voyage est supposé se dérouler dans un repère de centre O, sur un cercle de centre C, contenu dans le plan orthogonal au vecteur OC. A et B deux points de ce cercle sont le départ et l'arrivée.Le couple ordonné de points du cercle (A,B) définit une rotation dont l'angle angle(A,B) est l'ensemble des réels Θ + 2*k*PI . Cette rotation ne s'intéresse qu'a A un point de depart et  à B l'arrivée. Elle est impuissante à distinguer les chemins sur le cercle que pourrait prendre un pélerin entre A et B.On voit bien qu'il y a deux trajets. Comment reconnaitre et distinguer ces deux arcs?

Inspirés de l'exemple voyage-trajet, les arcs seront distingués par une escale. Ici le voyage c'est la rotation rot(O, Θ + 2*k*PI) . On va créer une escale juste à mi-chemin. Cette escale intermédiaire sera l'image du point de départ dans une rotation d'angle moitié. En divisant l'angle des vecteurs (CA,CB)=Θ+2*k*PI,on obtient deux angles moitiés: l'angle de vecteurs (Θ/2 + 2*k*PI)  et l'angle de vecteurs (Θ/2 - PI+ 2*k*PI). En résumé,le voyage peut être réalisé par deux trajets. Ces trajets sont caractérisés par les deux rotations rot(OC, Θ/2) et rot(OC, Θ/2-PI) qui permettent non seulement de distinguer un trajet de l'autre mais aussi de connaitre le but du voyage dès que l'on connait le point de départ ! Ceci en composant la rotation avec elle-même.

voyager sur un cône
Toujours dans le repère d'origine O, On se donne  un vecteur normé, Axe, et un point A .En faisant tourner la demi-droite [OA) autour de l'Axe , on obtient un cône. Se donnant B un deuxième point du cône ainsi engendré, celui-ci est partagé en deux nappes par les droites OA et OB. On se demande comment distinguer des trajets sur le cône qui permettent le voyage de A à B tout en restant dans la même nappe.
L'homothétie de centre O et de rapport ||OB||/||OA|| transforme A en un point E. E est avec B sur un cercle centré et orthogonal à l'Axe. Soit C le centre de ce cercle et Θ l'angle (CE,CB).Les deux trajets qui mènent de E à B sont caractérisés par rot(OC, Θ/2) et rot(OC, Θ/2-PI). Autrement dit , il y a une similitude unique qui transforme A en B : SIM(Axe,k, Θ). Mais il y a deux façons de réaliser le voyage: SIM(Axe,k, Θ/2) et SIM(Axe,k, Θ/2-PI).(Avec la convention de noter un trajet par sa ville étape et en sous entendant la rotation qui permettra de passer de E à B). Ces deux similitudes distinguent entiérement les deux types de trajets . De plus pour tout point de départ, elles permettent de retrouver leur point d'arrivée en les composant avec elles-même.
Définition et théorème:

Un triplet de point (A,E,B) est dit S-equivalent au triplet (A',E',B') si il existe un réel positif k, phi un angle et Axe un vecteur normé tels que la similitude SIM(Axe,k,phi) transforme A en E, A' en E' et si la rotation rot(Axe,phi) transforme E en B, et E' en B' . Cette relation est une relation d'équivalence et les classes de cette relation s'appellent des expansions .Les triplets d'une expansion sont appelés des chips (des copeaux découpés sur des cônes)

Soit une expansion où intervient la similitude SIM(Axe,k,phi) et soit un point A du plan passant par O et orthogonal à l'Axe,tel que OA soit normé.Si (A,E,B) est le chip qui part de A alors E et B sont aussi dans ce plan .De plus :
||OB||=||OE||=k, OA.OE=k*cos(phi), OA^OE=k*sin(phi)*Axe . Ainsi l'expansion est entierement définie par le couple [OA.OE, OA^OE] que SIR HAMILTON a appelé "quaternion". L'applet montre la concaténation des expansions (qui est évidemment isomorphe à la multiplication des quaternions)

 

écrit le 15/08/2004 ,édité le 16/08/2004