Lors d'un projet de voyage la première décision est la destination.Le point départ est pour vous évident . Puis vient le choix du trajet. Il y a peut être plusieurs chemins qui se distinguent par des villes de passages différentes. Ainsi journellement nous faisons la distinction entre la notion de voyage(départ,arrivée) et la notion de trajet qui sera la liste des villes traversées. Supposons que nous ayons deux trajets possibles (depart,ville1,arrivée) et (depart, ville2,arrivée), très vite nous parlerons du trajet "ville1" et du trajet "ville2" en sous-entendant ce qui est devenu évident; le départ et l'arrivée.

Le voyage est supposé se dérouler dans un repère de centre O, sur un cercle de centre C, contenu dans le plan orthogonal au vecteur OC. A et B deux points de ce cercle sont le départ et l'arrivée.Le couple ordonné de points du cercle (A,B) définit une rotation dont l'angle angle(A,B) est l'ensemble des réels Θ + 2*k*PI . Cette rotation ne s'intéresse qu'a A un point de depart et  à B l'arrivée. Elle est impuissante à distinguer les chemins sur le cercle que pourrait prendre un pélerin entre A et B.On voit bien qu'il y a deux trajets. Comment reconnaitre et distinguer ces deux arcs?

Inspirés de l'exemple voyage-trajet, les arcs seront distingués par une escale. Ici le voyage c'est la rotation rot(O, Θ + 2*k*PI) . On va créer une escale juste à mi-chemin. Cette escale intermédiaire sera l'image du point de départ dans une rotation d'angle moitié. En divisant l'angle des vecteurs (CA,CB)=Θ+2*k*PI,on obtient deux angles moitiés: l'angle de vecteurs (Θ/2 + 2*k*PI)  et l'angle de vecteurs (Θ/2 - PI+ 2*k*PI). En résumé,le voyage peut être réalisé par deux trajets. Ces trajets sont caractérisés par les deux rotations rot(OC, Θ/2) et rot(OC, Θ/2-PI) qui permettent non seulement de distinguer un trajet de l'autre mais aussi de connaitre le but du voyage dès que l'on connait le point de départ ! Ceci en composant la rotation avec elle-même.

Toujours dans le repère d'origine O, On se donne  un vecteur normé, Axe, et un point A .En faisant tourner la demi-droite [OA) autour de l'Axe , on obtient un cône. Se donnant B un deuxième point du cône ainsi engendré, celui-ci est partagé en deux nappes par les droites OA et OB. On se demande comment distinguer des trajets sur le cône qui permettent le voyage de A à B tout en restant dans la même nappe.

L'homothétie de centre O et de rapport ||OB||/||OA|| transforme A en un point E. E est avec B sur un cercle centré et orthogonal à l'Axe. Soit C le centre de ce cercle et Θ l'angle (CE,CB).Les deux trajets qui mènent de E à B sont caractérisés par rot(OC, Θ/2) et rot(OC, Θ/2-PI). Autrement dit , il y a une similitude unique qui transforme A en B : SIM(Axe,k, Θ). Mais il y a deux façons de réaliser le voyage: SIM(Axe,k, Θ/2) et SIM(Axe,k, Θ/2-PI).(Avec la convention de noter un trajet par sa ville étape et en sous entendant la rotation qui permettra de passer de E à B). Ces deux similitudes distinguent entiérement les deux types de trajets . De plus pour tout point de départ, elles permettent de retrouver leur point d'arrivée en les composant avec elles-même.

Soit une expansion où intervient la similitude SIM(Axe,k,phi) et soit un point A du plan passant par O et orthogonal à l'Axe,tel que OA soit normé.Si (A,E,B) est le chip qui part de A alors E et B sont aussi dans ce plan .De plus :