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les quaternions naissent dans les chips
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voyager sur terre
Lors d'un projet de voyage la première décision
est la destination.Le point départ est pour vous
évident . Puis vient le choix du trajet. Il y a peut
être plusieurs chemins qui se distinguent par des villes de
passages différentes. Ainsi journellement nous faisons la
distinction entre la notion de
voyage(départ,arrivée) et la notion de trajet qui
sera la liste des villes traversées. Supposons que nous
ayons deux trajets possibles (depart,ville1,arrivée) et
(depart, ville2,arrivée), très vite nous
parlerons du trajet "ville1" et du trajet "ville2" en sous-entendant ce
qui est devenu évident; le départ et
l'arrivée.
voyager sur un cercle
Le voyage est supposé se dérouler dans un repère de centre O, sur un cercle de centre C, contenu dans le plan orthogonal au vecteur OC. A et B deux points de ce cercle sont le départ et l'arrivée.Le couple ordonné de points du cercle (A,B) définit une rotation dont l'angle angle(A,B) est l'ensemble des réels Θ + 2*k*PI . Cette rotation ne s'intéresse qu'a A un point de depart et à B l'arrivée. Elle est impuissante à distinguer les chemins sur le cercle que pourrait prendre un pélerin entre A et B.On voit bien qu'il y a deux trajets. Comment reconnaitre et distinguer ces deux arcs? Inspirés de l'exemple voyage-trajet, les arcs seront distingués par une escale. Ici le voyage c'est la rotation rot(O, Θ + 2*k*PI) . On va créer une escale juste à mi-chemin. Cette escale intermédiaire sera l'image du point de départ dans une rotation d'angle moitié. En divisant l'angle des vecteurs (CA,CB)=Θ+2*k*PI,on obtient deux angles moitiés: l'angle de vecteurs (Θ/2 + 2*k*PI) et l'angle de vecteurs (Θ/2 - PI+ 2*k*PI). En résumé,le voyage peut être réalisé par deux trajets. Ces trajets sont caractérisés par les deux rotations rot(OC, Θ/2) et rot(OC, Θ/2-PI) qui permettent non seulement de distinguer un trajet de l'autre mais aussi de connaitre le but du voyage dès que l'on connait le point de départ ! Ceci en composant la rotation avec elle-même. voyager sur un cône
Toujours dans le repère d'origine O, On se donne
un vecteur normé, Axe, et un point A .En faisant tourner la
demi-droite [OA) autour de l'Axe , on obtient un cône. Se
donnant B un deuxième point du cône ainsi
engendré, celui-ci est partagé en deux nappes par
les droites OA et OB. On se demande comment distinguer des trajets sur
le cône qui permettent le voyage de A à B tout en
restant dans la même nappe.
L'homothétie de centre O et de rapport ||OB||/||OA||
transforme A en un point E. E est avec B sur un cercle
centré et orthogonal à l'Axe. Soit C le centre de
ce cercle et Θ l'angle (CE,CB).Les deux trajets qui mènent
de E à B sont caractérisés par rot(OC,
Θ/2) et rot(OC, Θ/2-PI). Autrement dit , il y a une similitude unique
qui transforme A en B : SIM(Axe,k, Θ). Mais il y a deux
façons de réaliser le voyage: SIM(Axe,k, Θ/2) et
SIM(Axe,k, Θ/2-PI).(Avec la convention de noter un trajet par sa ville
étape et en sous entendant la rotation qui permettra de
passer de E à B). Ces deux similitudes distinguent
entiérement les deux types de trajets . De plus pour tout
point de départ, elles permettent de retrouver leur point
d'arrivée en les composant avec elles-même.
Définition et théorème:
Un triplet de point (A,E,B) est dit S-equivalent au triplet (A',E',B') si il existe un réel positif k, phi un angle et Axe un vecteur normé tels que la similitude SIM(Axe,k,phi) transforme A en E, A' en E' et si la rotation rot(Axe,phi) transforme E en B, et E' en B' . Cette relation est une relation d'équivalence et les classes de cette relation s'appellent des expansions .Les triplets d'une expansion sont appelés des chips (des copeaux découpés sur des cônes)
Soit une expansion où intervient la similitude
SIM(Axe,k,phi) et soit un point A du plan passant par O et orthogonal
à l'Axe,tel que OA soit normé.Si (A,E,B) est le
chip qui part de A alors E et B sont aussi dans ce plan .De plus :
||OB||=||OE||=k, OA.OE=k*cos(phi), OA^OE=k*sin(phi)*Axe . Ainsi
l'expansion est entierement définie par le couple [OA.OE,
OA^OE] que SIR HAMILTON a appelé "quaternion". L'applet
montre la concaténation des expansions (qui est
évidemment isomorphe à la multiplication des
quaternions)
écrit le 15/08/2004 ,édité le 16/08/2004 |
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