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La rotation dans le groupe des quaternions : V' = qVq*
La touche "a" arrête / initie le mouvement calculé de V. Quand le mouvement est arrêté on peut déplacer V  par les touches de direction UP, DOWN, RIGHT, LEFT

Introduction

Le groupe des quaternions unitaires munis de la multiplication des quaternions est homomorphe au groupe des rotations de RxRxR. Un quaternion fournit directement l'axe etune moitié de l'angle de la rotation associée. Ces deux éléments permettent de reconstruire entierement la rotation. Il est important de bien voir que ces informations sur la rotation associée proviennent uniquement du quaternion, pas de la loi de multiplication des quaternions .

Pourtant la multiplication des quaternions "sait extraire" et simuler la rotation associée à un quaternion q. Bien sur cette "rotation simulée" par la multiplication des quaternions est une transformation interne à l'ensemble des quaternions.

il faut donc déterminer les quaternions qui simuleront les vecteurs de l'espace habituel . L'idée la plus naturelle est de considèrer les quaternions de type [0,V] puisque V est un vecteur de l'espace "réel".

Comme cos(PI/2)=0 et sin(PI/2)=1 on a [0,V]=||V||[cos(PI/2), sin(PI/2)V1] . Le vecteur V de l'espace "réel" sera représenté, dans le groupe des quaternions, par la symétrie axiale d'axe V composée avec l'homothétie de rapport ||V||.

Description de la figure

Plaçons-nous du point de vue des vecteurs et des rotations, et donnons nous un vecteur V et rot une rotation d'axe U et d'angle a. Appelons V' l'image de V dans la rotation rot : rot(V)=V' .Représentons aussi le plan médiateur MED qui contient U (en bleu sur le dessin) aux vecteurs V et V'.Le plan ORTHOGONAL à OUV qui passe par V,et le plan ORTHOGONAL à OUV' passant par V' , se coupent en OM dans le plan médiateur.

le point de vue des quaternions et des symétries orthogonales :

Appelons S1, S2, S3, S4, S5 les symétries orthogonales par rapport aux plans OUV, OUM, OVM, OV'M, OV'U .De par la symétrie de la figure:
-- Les rotations S2°S3 et S4°S2 sont égales et représentent le même quaternion.
-- Les diedres en V et V' étant droits on a : S1°S3 = S3°S1 et S5°S4 = S4°S5 . Ces deux rotations sont des symétries axiales . Elles sont représentées par les quaternions V et V'.
-- le quaternion q représente S5°S2 = S2°S1 alors que son conjugué q* représente S1°S2 = S2°S5
-- Le produit des quaternions Vq* représente (S3°S1)°(S1°S2) = S3°S2 = S2°S4

Donc q(Vq*) représente (S5°S2)°(S2°S4) = S5°S4. Or S5°S4 est la symétrie axiale autour de V' (donc c'est [0,V'] ). On peut conclure que q(Vq*)=V' et que l'application de l'espace vectoriel des quaternions du type [0,V] dans lui même qui à V associe qVq* est isomophe à la rotation associée au quaternion q.