introduction

La somme des quaternions [u,U] et [v,V] est le quaternion [u+v, U+V]
Pour un quaternion donné q= [u,U], il existe une infinité de couples de vecteurs (a,b) tels que u en soit le produit scalaire et U le produit vectoriel : [u,U]=[a.b , a^b]
Ce quaternion représente une similitude : celle-ci est la composée d'une rotation et d'une homothétie de rapport strictement positif. Comme la rotation se décompose en un produit de deux réflexions, on peut dire qu'un quaternion représente la composée d'une homothétie et de deux réflexions. Cette similitude peut être simulée dans le corps des quaternions. A chaque quatertion du type W= [0,V] on associe le quaternion W' = 1/norme(Q) QWQ* où Q* est le conjugué de Q.

le vecteur a^b est directeur de l'axe de la rotation, ||q||= sqrt(uu+U.U) est le rapport de l'homothétie et l'angle de la rotation est le double de celui du couple de vecteurs (a,b). Les plans contenant respectivement a et a^b, b et a^b, sont les plans des réflexions qui décomposent la rotation

description de la figure

On se donne deux quaternions p =[u,U] et q=[v,V]. Soit un vecteur c colineaire à U^V, quelconque, mais non nul. Il existe un vecteur a tel que u=a.c et U=a^c . De même, il existe un vecteur b tel que v=b.c et V = b^c .

L'addition des quaternions p et q est définie par : p+q=[u,U]+[v,V]=[u+v, U+V]. Par les décompositions utilisant les vecteurs a,b,c on obtient : p+q=[ (a+b).c, (a+b)^c] . Ceci montre que la similitude associée à p+q  est décomposable en produit de deux réflexions, s1 et s2 ,et d'une homothétie h où:

s1 est la réflexion par rapport au plan qui contient les vecteurs (a+b) et (a+b)^c.

s2 est la réflexion par rapport au plan qui contient les vecteurs c et (a+b)^c.

et ,h, est l'homothétie vectorielle de rapport ||p+q||