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La multiplication des quaternions unitaires |
La touche "a" arrête / initie le mouvement calculé de M. Quand le mouvement est arrêté on peut déplacer M par les touches de direction UP, DOWN, RIGHT, LEFT |
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Ce texte a pour support visuel le dessin ci-dessus . Premiere étape: axe et angle de la composée de deux rotations Donnons nous deux droites sécantes en O, (OU) et (OV), ainsi que deux angles 2*φ et 2*ψ. Notre but est de déterminer l'angle et l'axe de la rotation resultat de la composée des rotatations suivantes :R1 la rotation d'axe (OU) et d'angle 2*φ, R2 la rotation d'axe (OV) et d'angle 2*ψ. Décomposons R1 par les deux symétries orthogonales suivantes: S1 symétrie par rapport au plan P1 obtenu comme image de (OUV) dans la rotation d'angle -φ d'axe (OU) S2 symétrie par rapport au plan (OUV) Décomposons R2 par les deux symétries orthogonales suivantes: S2 symétrie par rapport au plan (OUV) S3 symétrie par rapport au plan P2 obtenu comme image de (OUV) dans la rotation d'angle ψ d'axe (OV) L'idée , banale, est d'utiliser une même symétrie orthogonale dans les deux décompositions. La composée des rotations , R1 suivie de R2 , est aussi la composée de S1,S2,S2,S3. Donc la rotation R1 suivie de R2 se réduit à la composée des symétries orthogonales , S2 suivie de S3. Il s'ensuit que l'axe et l'angle recherchés sont : un vecteur de l'intersection (OI) des plans P1 et P2 le double de l'angle diedre des plans P1 et P2 Calculons d'abord un vecteur de la direction (OI): Pour ce faire calculons un vecteur n1 orthogonal au plan P1 Notons u et v les vecteurs normés des directions (OU) et (OV) (en rouge près des points U et V) et soit le vecteur normé orthogonal au plan (OUV), w .Celui-ci est le produit vectoriel u x v divisé par sa norme.(w est représenté en vert deux fois, une fois près de U, une fois près de V). il est clair que les vecteurs normés u et v peuvent être remplacés par -u et par -v. C'est cette duplicité des vecteurs normés d'une droite, ou des vecteurs normés orthogonaux à un plan qui devra être résolue . Mais ignorons ce problème pour le moment, et calculons "pour voir",en repoussant à plus tard la résolution de cette difficulté.
Donc un vecteur orthogonal à P2 est: n2 = v x b Il en decoule que le vecteur dir = n2 xn1 est directeur de l'axe (OI) Calcul du vecteur de l'intersection des plans P1 et P2 , dir = n1 x n2 n1xn2 = ( cosψ*v x (v x w) +sinψ*v x w ) x ( cosφ*u x (u x w) -sinφ*u x w ) n1xn2= (-cosψ*w + sinψ*v x w) x ( -cosφ*w -sinφ*u x w ) ; en distribuant et en simplifiant on obtient : n1xn2 = cos(ψ)*sin(φ)*u + sin(ψ)*cos(φ)*v + sin(ψ)*sin(φ)*u x v Calculons maintenant le cosinus de l'angle diedre des deux plans
cos(P1,P2) = n1.n2=cos(n1,n2) n1.n2 = cosψ*cosφ - sinψ*sinφ*(v.u) Ce résultat est donc le cosinus de l'angle diedre des deux plans qui détermine la rotation composée. L'angle de la rotation composée est donc 2*angle diedre(P1,P2) Deuxième étape: Construire la loi de multiplication Nous sommes donc amené à caractériser la rotation composée R2oR1 par les deux éléments cos(n1,n2) et dir=n1xn2. Que l'on peut mettre sous forme de couple [ cos(Δ) , dir ] formé d'un nombre cos(Δ) et d'un vecteur. 2*Δ est l'angle de la rotation R2oR1. Ces formules semblent compliquées, mais en posant r =
cos(φ), P= s= , Q= il vient: Si maintenant on remplace dans ces calculs u, par -u, ou encore v par -v, on constate que [r,P] est remplacé par [-r,-P], ou que [s,Q] est remplacé par [-s,-Q] et que le produit par ° donne un couple [rs-P.Q , rQ + sP + PxQ ] ou son opposé [-rs+P.Q , -rQ - sP - PxQ ]. L'idée d'Hamilton sera donc définir les couples [r,P], qu'il appelera "quaternions", indépendament des similitudes, avec la loi °. Puis il constatera, avec nous, qu'a une similitude sont attachés deux quaternions. L'un ou l'autre, de façon indifférente, pourra représenter cette transformation dans tous les calculs avec la loi °. Conclusion: Il existe un homomorphisme du groupe multiplicatif des quaternions sur le groupe des similitudes. Les quaternions sont ainsi plus précis que les similitudes. Et c'est cette précision qui permet de définir une addition et donc de retrouver une structure de corps.C'est qui s'est avéré impossible avec les similitudes. Dans ce sens la véritable découverte d'Hamilton n'est pas la multiplication des quaternions mais l'addition (voir l'addition des quaternions). |