Ce texte a pour support visuel le dessin ci-dessus .
Nous allons déterminer la rotation produit de deux rotations données, grâce à la décomposition des rotations en composée de réflexions. Pour déterminer la loi de composition des rotations, et en conséquence la multiplication des quaternions, il suffira de déterminer l'intersection de deux plans qui déterminent les réflexions de la composée. Cette intersection nous donnera l'axe et la moitié de l'angle de la rotation composée.
Premiere étape: axe et angle de la composée de deux rotations
Donnons nous deux droites sécantes en O, (OU) et (OV), ainsi que deux angles 2*φ et 2*ψ. Notre but est de déterminer l'angle et l'axe de la rotation resultat de la composée des rotatations suivantes :R1 la rotation d'axe (OU) et d'angle 2*φ,
R2 la rotation d'axe (OV) et d'angle 2*ψ.
Décomposons R1 par les deux symétries orthogonales suivantes:
S1 symétrie par rapport au plan P1 obtenu comme image de (OUV) dans la rotation d'angle -φ d'axe (OU)
S2 symétrie par rapport au plan (OUV)
Décomposons R2 par les deux symétries orthogonales suivantes:
S2 symétrie par rapport au plan (OUV)
S3 symétrie par rapport au plan P2 obtenu comme image de (OUV) dans la rotation d'angle ψ d'axe (OV)
L'idée , banale, est d'utiliser une même symétrie orthogonale dans les deux décompositions. La composée des rotations , R1 suivie de R2 , est aussi la composée de S1,S2,S2,S3. Donc la rotation R1 suivie de R2 se réduit à la composée des symétries orthogonales , S2 suivie de S3. Il s'ensuit que l'axe et l'angle recherchés sont :
un vecteur de l'intersection (OI) des plans P1 et P2
le double de l'angle diedre des plans P1 et P2
Calculons d'abord un vecteur de la direction (OI):
Pour ce faire calculons un vecteur n1 orthogonal au plan P1 Notons u et v les vecteurs normés des directions (OU) et (OV) (en rouge près des points U et V) et soit le vecteur normé orthogonal au plan (OUV), w .Celui-ci est le produit vectoriel u x v divisé par sa norme.(w est représenté en vert deux fois, une fois près de U, une fois près de V).
Le vecteur uw=u x w (en bleu près de U) fait de (u,w,uw) une base orthonormée. De mêmepour le produit vectoriel vw=v x w (en bleu près de V) qui fait du triplet (v,w,vw) une base orthonormée.Dans ce premier repère, faisons tourner le vecteur uw d'un angle -φ autour de u.Le vecteur a obtenu, est un vecteur du plan P1 et il vérifie: a=cos(φ)*uw - sin(φ)*w
Donc un vecteur orthogonal à P1 est: n1 = u x a
il est clair que les vecteurs normés u et v peuvent être remplacés par -u et par -v. C'est cette duplicité des vecteurs normés d'une droite, ou des vecteurs normés orthogonaux à un plan qui devra être résolue . Mais ignorons ce problème pour le moment, et calculons "pour voir",en repoussant à plus tard la résolution de cette difficulté.
calculons un vecteur orthogonal au plan P2
Donc un vecteur orthogonal à P2 est: n2 = v x b Il en decoule que le vecteur dir = n2 xn1 est directeur de l'axe (OI)
Calcul du vecteur de l'intersection des plans P1 et P2 , dir = n1 x n2
n1xn2 = ( cosψ*v x (v x w) +sinψ*v x w ) x ( cosφ*u x (u x w) -sinφ*u x w )
n1xn2= (-cosψ*w + sinψ*v x w) x ( -cosφ*w -sinφ*u x w ) ;
en distribuant et en simplifiant on obtient :
n1xn2 = cos(ψ)*sin(φ)*u + sin(ψ)*cos(φ)*v + sin(ψ)*sin(φ)*u x v
Calculons maintenant le cosinus de l'angle diedre des deux plans
cos(P1,P2) = n1.n2=cos(n1,n2)
n1.n2= (v x (cosψ*vw +sinψ*w)) . (u x (cosφ*uw -sinφ*w))
n1.n2 = cosψ*v x (v x w) +sinψ*v x w ) . ( cosφ*u x (u x w) -sinφ*u x w )
n1.n2 = (-cosψ*w +sinψ*v x w) . ( -cosφ*w -sinφ*u x w )
n1.n2=cosψ*cosφ*w.w + cosψ*sinφ*w.(u x w)- sinψ*cosφ*(w x v).w - sinψ*sinφ*(v x w).(u x w)
n1.n2 = cosψ*cosφ - sinψ*sinφ*(v.u)
Ce résultat est donc le cosinus de l'angle diedre des deux plans qui détermine la rotation composée. L'angle de la rotation composée est donc 2*angle diedre(P1,P2)
Deuxième étape: Construire la loi de multiplication
Nous sommes donc amené à caractériser la rotation composée R2oR1 par les deux éléments cos(n1,n2) et dir=n1xn2. Que l'on peut mettre sous forme de couple [ cos(Δ) , dir ] formé d'un nombre cos(Δ) et d'un vecteur. 2*Δ est l'angle de la rotation R2oR1.
La rotation R1 est entierement définie par le couple [cosφ,sinφ*u] .
La rotation R2 est entierement définie par le couple [cosψ,sinψ*v] .
D'après les calculs précédents on peut définir la loi de composition notée avec le signe opératoire °:
si l'on pose cos(Δ) = cosφ*cosψ - (sinφ*u).(sinψ*v)
sin (Δ)*N = sinφ*cosψ*u + cosφ*sinψ*v + sinφ*sinψ*u x v
on obtient:
[cos φ,sinφ*u] ° [cosψ,sinψ*v] = [cosΔ,sinΔ*N]
Ces formules semblent compliquées, mais en posant r =
cos(φ), P= s=, Q= il vient:
[ r,P ]°[ s,Q ] = [ rs-P*Q , rQ + sP + PxQ ]
ce qui est la loi de multiplication d'Hamilton sur Rx(RxRxR) .De la même façon le produit des représentants de deux similitudes
[k.cosφ,k.sinφ*u] ° [h.cosψ,h.sinψ*v] = [k.h.cosΔ,k.h.sinΔ.N]
Ainsi quand on pose : r =k.cos(φ), P=k.sinφ*u, s=h.cosψ, Q= h.sinψ.v on obtient:
[ r,P ]°[ s,Q ] = [ rs-P.Q , rQ + sP + PxQ ]
Si maintenant on remplace dans ces calculs u, par -u, ou encore v par -v, on constate que [r,P] est remplacé par [-r,-P], ou que [s,Q] est remplacé par [-s,-Q] et que le produit par ° donne un couple [rs-P.Q , rQ + sP + PxQ ] ou son opposé [-rs+P.Q , -rQ - sP - PxQ ]. L'idée d'Hamilton sera donc définir les couples [r,P], qu'il appelera "quaternions", indépendament des similitudes, avec la loi °. Puis il constatera, avec nous, qu'a une similitude sont attachés deux quaternions. L'un ou l'autre, de façon indifférente, pourra représenter cette transformation dans tous les calculs avec la loi °.
Conclusion:
Il existe un homomorphisme du groupe multiplicatif des quaternions sur le groupe des similitudes.
Une similitude est l'image exactement de deux quaternions:si l'un deux est k*[cosφ,sinφ*u] l'autre est k*[-cosφ,-sinφ*u] (k réel strictement positif). Ainsi les quaternions [1,0] et [-1,0] représentent la même similitude, l'identité. De même les quaternions k*[1,0] et k*[-1,0] représentent la même homothétie de rapport k . Les quaternions réels correspondent aux homothéties de rapport k.
En fait les deux quaternions, associés à une similitude représentent les deux trajets possibles sur un cône qui joint chaque couple de vecteurs (antécédent,image) de la similitude .D'une façon imagée on peut dire que la similitude est un projet de voyage alors que les 2 quaternions sont les deux trajets qui réalisent le voyage.(voir expansions et quaternions ).
Les quaternions sont ainsi plus précis que les similitudes. Et c'est cette précision qui permet de définir une addition et donc de retrouver une structure de corps.C'est qui s'est avéré impossible avec les similitudes. Dans ce sens la véritable découverte d'Hamilton n'est pas la multiplication des quaternions mais l'addition (voir l'addition des quaternions).