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Les quaternions sont identifiables à des classes de secteurs.

résumé : un quaternion peut être identifié à une classe de couples de vecteurs .
Les classes dans VxV sont définies par la relation R suivante:
les couples (u,v) et (u',v') sont liés lorsque soit il existe un réel r tel que v=ru et v'=rv', soit u et v sont linéairement indépendant et un même similitude d'axe u^v transforme u en v et u' en v'

Soit deux plans vectoriels P1 et P2, et h un nombre réel positif . Ces trois objets définissent une similitude S. Elle est le produit des symétries orthogonales par rapport à P1 puis P2 suivi de l'homothétie de rapport h.Ainsi S est définie par P1,P2,h. On écrit

S=S(P1,P2,h)

S=S(P1,P2,h)=S(P,P',h).

Pour chaque vecteur u, non nul, orthogonal à D, on peut construire le plan Pu qui contient D et u et le plan Pv tel que S=S(Pu,Pv,h).
Le plan Pv coupe le plan orthogonal à D suivant une droite B dont les vecteurs direteurs de longueurs ||u||*h ,v1 et v2 aussi orthogonaux à D. Ils sont opposés. Et si l'un fait ,avec u, l'angle PHI+2*k*PI, l'autre fait avec u l'angle PHI -PI+2*k*PI.

Le couple de vecteur (u,S(u)) fait un angle de 2*PHI+2*k*PI. La droite B est bissectrice de ce secteur. On peut imaginer deux chemins qui relient u à S(u). Un chemin qui va le sens croissant des angles, caractérisé par l'angle 2*PHI, et un autre qui parcourt l'espace dans le sens contraire et qui mesure 2*PHI-2*PI. Ces deux angles caractérisent entièrement les deux classes de chemins. On pourrait en rester là, mais ces angles ont les mêmes lignes trigonométriques : l'utilisation des sinus cosinus tangente casse la discrimination . Il est donc indispensable d'utiliser non pas les angles 2*PHI et 2*PHI-2*PI , mais les angles définis à 2*k*PI près qui sont définis par la donnée initiale des plans P1 et P2.

La droite D étant orientée par le vecteur d, l' angle des deux plans (P1,P2) est l'ensemble des réels PHI+k*PI. Que l'on partage en PHI+2*k*PI et PHI-PI+2*k*PI. Ainsi nous définissons les deux similitudes S1 et S2 de même axe et de même rapport que S mais qui sont d'angles PHI+2*k*PI et PHI-PI+2*k*PI.
La similitude S est ainsi décomposable de deux façons différentes, S= S1°S1°H et S=S2°S2°H si H est l'homothétie de rapport 1/h.

Ainsi les similitudes S1 et S2 permettent de discriminer les deux sortes de chemins qui partent de u et qui arrivent à S(u).

S1 et S2 définissent deux classes de couples de vecteurs orthogonaux à D.
C1={(v , S1(v)/ v vecteur orthogonal à D}
C2={(v , S2(v)/ v vecteur orthogonal à D}

Ce qui nous amène à définir la relation R dans l'ensemble des couples de vecteurs VxV:

(a,b)R(a',b') <==> a, b, a',b' sont dans un même plan et définissent la même similitude dont l'axe est orthogonal à P.

R est une relation d'équivalence . Les classes de cette relation seront appelées des secteurs.
Chaque secteur est associé bijectivement à une similitude .Mais chaque similitude est liée à deux secteurs en divisant l'angle de la similitude en deux.

L'image ci-contre représente un couple vecteur élément d'un secteur dont l'axe a pour direction le produit vectoriel . Le rapport associé est le quotient des normes des deux vecteurs.

Le secteur d'un couple (u,ku) est l'ensemble des couples (v,kv) quand v parcours V.
Le secteur du couple (u,u) est l'ensemble des couples de vecteurs identiques
Le secteur du couple (u,-u) est l'ensemble des vecteurs (v,-v) quand v parcours V.