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Secteurs et quaternions |
les touches actives sont "c", "s", "r" |
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(ce texte est en construction!) résumé : un quaternion peut être identifié à une classe de couples de vecteurs . |
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Soit deux plans vectoriels P1 et P2, et h un nombre réel positif . Ces trois objets définissent une similitude S. Elle est le produit des symétries orthogonales par rapport à P1 puis P2 suivi de l'homothétie de rapport h.Ainsi S est définie par P1,P2,h. On écrit S=S(P1,P2,h) Mais il est clair que cette décomposition en symétries orthogonales n'est pas unique.Pour chaque plan P contenant D, il existe un plan P' passant par D tel que: S=S(P1,P2,h)=S(P,P',h). Si les plans P1 et P2 ne pas sont confondus, les seuls éléments intrinsèques liés à la similitude sont formés par un vecteur d directeur de la droite D intersection des deux plans,de longueur h ,et de l'angle des deux plans pour cette orientation PHI +k*PI, défini à PI près. On obtient ainsi deux couples caractérisiques (d, PHI) et (-d,-PHI). L'angle de la similitude elle même étant 2*PHI ou -2*PHI suivant que l'on choisi d ou -d. Pour chaque vecteur u, non nul, orthogonal à D, on peut construire le plan Pu qui contient D et u et le plan Pv tel que S=S(Pu,Pv,h). Le couple de vecteur (u,S(u)) fait un angle de 2*PHI+2*k*PI. La droite B est bissectrice de ce secteur. On peut imaginer deux chemins qui relient u à S(u). Un chemin qui va le sens croissant des angles, caractérisé par l'angle 2*PHI, et un autre qui parcourt l'espace dans le sens contraire et qui mesure 2*PHI-2*PI. Ces deux angles caractérisent entièrement les deux classes de chemins. On pourrait en rester là, mais ces angles ont les mêmes lignes trigonométriques : l'utilisation des sinus cosinus tangente casse la discrimination . Il est donc indispensable d'utiliser non pas les angles 2*PHI et 2*PHI-2*PI , mais les angles définis à 2*k*PI près qui sont définis par la donnée initiale des plans P1 et P2. La droite D étant orientée par le vecteur d, l' angle des deux plans (P1,P2) est l'ensemble des réels PHI+k*PI. Que l'on partage en PHI+2*k*PI et PHI-PI+2*k*PI. Ainsi nous définissons les deux similitudes S1 et S2 de même axe et de même rapport que S mais qui sont d'angles PHI+2*k*PI et PHI-PI+2*k*PI. Ainsi les similitudes S1 et S2 permettent de discriminer les deux sortes de chemins qui partent de u et qui arrivent à S(u). S1 et S2 définissent deux classes de couples de vecteurs orthogonaux à D. Ce qui nous amène à définir la relation R dans l'ensemble des couples de vecteurs VxV: (a,b)R(a',b') <==> a, b, a',b' sont dans un même plan et définissent la même similitude dont l'axe est orthogonal à P. R est une relation d'équivalence . Les classes de cette relation seront appelées des secteurs. L'image ci-contre représente un couple vecteur élément d'un secteur dont l'axe a pour direction le produit vectoriel . Le rapport associé est le quotient des normes des deux vecteurs. Le secteur d'un couple (u,ku) est l'ensemble des couples (v,kv) quand v parcours V.
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