Après un clic sur l'applet, la figure peut être tournée en déplaçant la souris, le bouton gauche enfoncé.On peut modifier le vecteur c à l'aide des glissières.Le bouton next permet la progression de la figure.
Le concept de SLERP est de K.SHOEMAKE .
Justification
| Soit p=[u,U] et q=[v,V] deux quaternions unitaires . Si c est le vecteur normé orthogonal au plan (U,V) égal au vecteur U^V divisé par sa norme , alors il existe des vecteurs normés a et b tels que: p=[ a.c , a^c ] , q=[ b.c , b^c ] Essayons de déterminer une interpolation de p et q sous la forme d'une combinaison linéaire de p et q. s(t) = kp + hq où h et k sont des fonctions du paramètre t, t étant un réel compris entre 0 et 1. Cette égalité est équivalente à: s(t)=[ k(a.c) , k(a^c ] + [ h(b.c) , h(b^c)] ; s(t)=[(ka+hb).c , (ka+hb)^c] Il faut donc déterminer les fonctions de t, h et k, de telle sorte que ka + hb soit normé et que s(0)=p et s(1)=q |
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Sur le dessin , les vecteurs a , b et OS sont normés .On appelle θ une mesure de l'angle des vecteurs a et b.Dans le triangle OSN les angles en N, O et S sont notés pi- θ, tθ , (1-t)θ . D'après la "règle des sinus" appliquée au triangle OSN , on a: 1/sin(pi-θ) = SN/sintθ = SM/ sin(1-t)θ . Il s'ensuit que : OS=(sin(1-t)θ /sinθ )a + (sin tθ/sinθ)b |
Il en résulte que lorsque S est un point de l'arc ab vérifiant une telle relation,une solution à notre interpolation est s(t) = (sin(1-t)θ /sinθ )p + (sin tθ/sinθ)q . Reste à déterminer θ, non pas à l'aide de a et b, mais en fonction de p et q.Calculons le produit scalaire de p et q:
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