Les similitudes directes dans le plan vectoriel permettent de comprendre les nombres complexes. Ces nombres complètent parfaitement les nombres réels en assurant que tout polynome de degré n , possède n racines réelles ou complexes.

En s'inspirant de cette construction ,il est naturel de tenter la construction d'une multiplication et d'une addition à partir des similitudes vectorielles de l'espace à trois dimensions.

La multiplication de cette structure a un modèle évident : la composition des similitudes.

Reste à déterminer une addition pour ces similitudes. C'est là que le projet rencontre ses premières difficultés. En effet la "somme" de deux rotations dans certains cas , n'est même pas une bijection. Pour contourner cette impossibilité on constate que chaque similitude cache deux classes d'arcs.

Et c''est en utilisant ces classes de trajets, et en abandonnant l'aspect fonctionnel et en mettant l'accent sur l'aspect "trajectoires", que l'on réussit à construire une addition naturelle tout en conservant la multiplication induite par des similitudes.

La définition axiomatique des quaternions, donnée habituellement, ne suffit pas à nourrir l'imagination du néophyte. Construits comme des éléments d'un espace vectoriel de dimensions 4, ils sont présentés comme des abstractions pures.
Or les quaternions sont des objets sensibles que l'on peut représenter géométriquement.On va voir quils peuvent très facelement être conçus comme des classes de couples de vecteurs.
En replaçant les choses dans l'ordre naturel, Le sensible avant l' axiome, on peut donner des figures, des images, qui fondent les quaternions et les relient à notre monde en trois dimensions.Cette approche permet de faire voir et de faire comprendre. Elle justifie la démarche axiomatique et la fait apparaître encore plus nécessaire.

Ainsi, comme le suggère CLAIRAULT ,"l'esprit, plein des idées sensibles, peut essuyer la fatigue de saisir les idées abstraites."

	Les secteurs se multiplient géométriquement très facilement . Cette multiplication est isomorphe à celle des quaternions
	les secteurs, classes de couples de vecteurs représentent visuellement et mathématiquement parfaitement les quaternions. Ce sont des secteurs
	Les quaternions ne sont pas imaginaires Chaque similitude en fabrique deux bien visibles, comme qui rigole.
	concaténation des arcs sur une sphère Les arcs de cercle sur la sphère classé par une relation d'équivalence sont représentatifs des quaternions unitaires munis de la seule multiplication
	Une introduction aux quaternions par les expansions . En prime, la multiplication des quaternions vus comme des expansions
	L'addition des quaternions vus comme des expansions .Où l'on peut constater que cette addition n'est pas aussi évidente que dans la définition formelle
	la composée des rotations et la multiplication des quaternions une heuristique de la loi de multiplication découverte par Sir Hamilton à partir de la décomposition des rotations d 'Olinde Rodrigues
	rotation V' = qVq* Comment simuler dans les corps des quaternions une rotation de l'espace . Une simulation de la formule :V'=qVq*
	Slerp L'interpolation à vitesse angulaire constante entre deux quaternions unitaires. Une figure qui tente de faire voir la formule des Slerps : exp(qp*,t) p
	ASSOCIATIVITE des quaternions
	ADDITION des quaternions L'addition des quaternions est algèbriquement très simple . Mais quelle est sa représentation géomètrique ?
	Slerp(p,q,t)=k*p + h*q Simulation de la combinaison linéaire qui définit l'interpolation sphérique de deux quaternions

extrait de la Préface aux ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE de CLAIRAUT parus en 1741

Quoique la géométrie soit par elle-même abstraite, il faut avouer cependant que les difficultés qu' éprouvent ceux qui commencent à s'y appliquer viennent le plus souvent de la manière dont elle est enseignée dans les Éléments ordinaires. On y débute toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d'axiomes, et de principes élémentaires, qui semblent ne promettre rien que de sec au Lecteur. Les propositions qui viennent ensuite ne fixant point l'esprit sur des objets plus intéressants, et étant difficiles à concevoir, il arrive communément que les Commençants se fatiguent et se rebutent, avant que d'avoir aucune idée distincte de ce qu'on voulait leur enseigner.
Il est vrai que pour sauver cette sécheresse, naturellement attachée à l' étude de la Géométrie, quelques Auteurs ont imaginer de mettre à la suite de chaque proposition essentielle, l'usage que l'on peut en faire pour la pratique; mais par là, ils prouvent l'utilité de la Géométrie, sans faciliter beaucoup les moyens de l'apprendre. Car chaque proposition venant toujours avant son usage, l'esprit ne revient à des idées sensibles, qu'après avoir essuyé la fatigue de saisir les idées abstraites.

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